Undervisningsportfølje for Peter Harremoës (Entro-Peter)

Contact info

E-mail:

Telephone: +45 39 56 41 71

Skype: peterharremoes

Private address:
Rønne Alle 1, st.
DK-2860
Søborg

Daglig undervisning

Nogle andre aktiviteter

Ud over matematik underviser jeg i alle discipliner inden for klatring og bjergbestigning. Jeg er endvidere involveret I uddannelse og eksamination af instruktører.
Ud over at undervise forsker jeg i informationteori og relaterede emner. Nærmere beskrivelse af mine forskningsaktiviteter kan findes her. Endvidere er jeg reviewer for en mængde tidsskrifter, og har i en længere periode været chefredaktør på det internationale tidsskrift Entropy.

Kursushjemmesider

Mere information mine kurser jeg kan findes på kursernes hjemmesider, som løbende opdateres sålænge kurset varer.
Mat A
Mat B

Nogle undervisningshæfter i matematik

Disse kursusnoter opdaterer jeg løbende. Kursusmateriale for et givet kursus findes via kursets hjemmeside.

Logik Undervisningshæfte på A-niveau. Jeg planlægger en omskrivning af dette materiale, hvor konnektiver defineres vha. tabeller med 2 indgange i stedet for den sædvanlige måde at skrive sandhedstabeller på.
Vektorer Undervisningshæfte på A-niveau. Som hæfte til udprintning på duplexprinter.
Potens- Eksponential- og logaritmefunktioner Undervisningshæfte på A-niveau.
Potens- Eksponential- og logaritmefunktioner Undervisningshæfte på B-niveau.
Spil- og Beslutningsteori Undervisningshæfte på A-niveau. Jeg planlægger en omskrivning, hvor optimale blandede strategier først beregnes i to-personersspil, som ikke er nulsumsspil, idet kursisterne erfarinsmæssigt har svært ved at skifte mellem at se spillet fra Alices og Bobs side, når kun Alices payoff-tabel er angivet.
Lecture notes on the Statistical Structure of Quantum Theory These lecture notes were used at a graduate course in information theory and probaiblity theory held at Math. Dept. Univ. of Copenhagen 2003.
Probability and Information - Occam's Razor in Action These lecture notes were used at a graduate course in information theory and probability theory held at Math. Dept. Univ. of Copenhagen 2003. The name of the course was "Probability Theory assisted by Information Theory". Since the course I have extended it notes into a book draft and I have discussions with Cambridge Univ. Press to publish it.
Sandsynlighedsregning og statistik af Peter Harremoës, Niels Brock april 2012. Som hæfte til udprintning på duplexprinter.
Eksempel på statistisk test.

Fysiologiske betingelser for indlæring

For at kunne lære effektivt er det vigtigt at visse basale forudsætninger er i orden.
Væske Kroppen har brug for væske og vand er under normale omstændigheder det mest effektive. Alkohol og kaffe har ud over de oplagte virkninger negativ betydning for søvnmønsteret.
Mad Folks spisevaner er ganske forskellige, og spisevanerne kan have stor betydning for helbredet i det hele taget. Større indtag af slik eller andre let optagelige kulhydrater, er kun gavnligt i  forbindelse med meget energikrævende aktiviteter. I forbindelse med stillesiddende aktiviteter vil det give store svingninger i blodsukker og insulinproduktion
Søvn At god søvn er vigtigt for koncentrationen ved enhver. Det er dog ikke sådan at mere søvn nødvendigvis giver større koncentration. Faktisk er der meget, som tider på at en søvnperiode af ca. 8 timers varighed for de fleste personer ikke vil være det optimale. Nogle har brug for mere søvn, og nogen har brug for mindre søvn. Søvnen behøver heller ikke at ligge i en blok (se her og her for detaljer). http://www.collective-evolution.com/2013/07/13/alternative-sleep-cycles-7-10-hours-is-not-needed/
Motion I forbindelse med eksamenslæsning o.lign. har mange studerende en tendens til at springe motionen over. Det vil dog i løbet af kort tid kunne føre til nedsat koncentration. Endvidere har motionbetydning af appetitreguleringen. Sundhedsstyrelsen anbefaler minimum 30 min. fysisk aktivitet hver dag, og det kan være en god idé at holde fast i et vist minimum uanset hvor presset man ellers er med studierne.

Repetition og konsolidering af semantisk viden

Systematisk repetition og konsolidering af semantisk viden er et område som den danske uddannelsessystem lægger alt for lidt vægt på. Et tilbagevendende problem I undervisning I matematik på gymnasielt niveau er at gymnasiasterne/kursisterne ikke kan brøkregning. De har ganske vist alle sammen lært brøkregning I et eller andet omfang I 6-7 klasse, men den dag de har brug for det kan de det ikke. Og hvis man ikke kan det når man har brug for det, så kunne man lige så godt have ladet være med at lære det! Det er tilsyneladende en holdning jeg står alene med, for det er slet ikke noget som er oppe I den skolepolitiske debat.

Eksempel Til og med august 2012 foregik der følgende I min undervisning på GSK Mat A i differentialregning. Opgaven er at bestemme monotoniforholdene for et 3.-gradspolynomium. Vi differentierer funktionen og sætter lig nul. Vi skal nu løse ligningen og jeg spurgte hvordan. Hvis ingen svarede, gjorde jeg opmærksom på at det var en 2.-gradsligning. Ordet 2.-gradsligning var som at trykke på en knap. Enten viste de hvordan man skulle løse 2.-gradsligninger vha. Diskriminantmetoden eller også var de lidt flove over ikke at kunne huske det. Efter en kort repetition af diskriminantmetoden viste alle hvordan den type opgaver skulle gribes an, og så var det bare at smøge ærmerne op og gå I gang med at regne en masse opgaver. Jeg havde ingen Mat A hold I efteråret 2012 , men I foråret 2013 havde jeg to hold og prøvede at gennemføre samme model som tidligere. Som noget nyt var reaktionen når jeg sagde “2.-gradsligning” nu at de ikke kunne se hvad det skulle hjælpe at vide at det var en 2.gradsligning. Jeg kunne lige så godt have sagt 3. gradsligning eller noget andet. Vi skulle med andre ord begynde forfra med hvordan man løser 2.-gradsligninger. Tidligere har vi motiveret differentialregning ved at det gjorde os I stand til at reducere en svær opgave (monotoniforhold) til en let opgave (løse 2.-gradsligninger), men nu laver differentialregning et svært problem om til et andet svært problem, så hele pointen falder til jorden. Iøvrigt er det lige let at finde nulpunkter og monotoniforhold med de CAS-værktøjer som kursisterne nu har til rådighed, En væsentlig grund til at bruge så meget tid på på monotoni er øjensynligt atdet giver træning I differentialregning, men med CAS-værktøjer til rådighed falder den pointe helt til jorden.

Semantisk viden

Vor viden, vaner, minder, erindringer osv. er organiseret på forskellig vis hjernen. Lillehjernen styrer f.eks. vore indlærte bevgelsesmønstre og det er velkendt at hvis man først en gang har lært at cykle, så glemmer man det aldrig. Motorisk hukommelse som evnen til at cykle er et eksempel på er imidlertid fuldstændigt anderledes indrettet end semantisk hukommelse. Semantisk hukommelse vedrører viden og fakta og er det som vores uddannelsessystem lægger mest vægt på. Man siger også at semantisk hukommelse drejer sig om den form for viden, hvor vi ikke kan redegøre for præcis ved hvilken lejlighed vi fik den. Uanset om man kalder det matematisk viden, kompetencer, færdigheder, kendskab, kundskab eller forståelse, vil det I langt overvejende grad høre ind under den semantiske hukommelse. Det væsentlige er I denne forbindelse at der gælder nogle almene principper som styrer I hvor høj grad vi husker bestemte dele af det indlærte, og disse principper er uafhængige af om det drejer sig om matematiske metoder, kongerækken, salmevers eller uregelmæssige verber.

Konsolidering

Hvis man har lært en bid semantisk vide, skal den konsolideres for at blive hængende i længere tid. Det vil sige at hvis man har lært noget, men ikke bruger det, så vil det blive nedprioriteret til fordel for andre emner, som måske er mere nyttige. Dette er selvfølgelig velkendt, men det er mindre velkendt at konsolideringen helst skal finde sted I et forholdsvist lille vindue. Hvis man f.eks. Har lært et emne intensivt i 4 timer, så vil det optimale være at tage en pause på ca. 4 timer og så arbejde videre med emnet intensivt i 2 timer. I disse 2 timer danne sig overblik over hvad man havde lært og hvad var vigtigt. Hvis det er muligt skal man sætte sin nye viden i forbindelse med anden viden man har i forvejen, så der kan dannes hensigtsmæssige associationer på tværs mellem emnerne (eller fagene). En anden vigtig form for konsolidering består i at anvende sin viden til nye problemer, hvilket automatisk en prioritering af stoffet, så de dele som er mest nyttige I forhold til problemløsning bliver opprioriteret.

Med den første konsolidering har man nu kendt til emnet i 10 timer og kan derfor holde en pause på intil 10 timer inden næste konsolideringsfase, hvor man igen arbejder intensivt med emnet. Denne gang behøver man kun at bruge 1 time på konsolidering. Sådan fortsættes resten af livet. Længden af en pause må ikke overstige hvor lang tid man har kendt til emnet, så længden af pauserne kan ca. fordobles og den tid man bliuger på konsolidering kan halveres.

Repetition

Pepetition betyder gentagelse og er en meget udbredt metode til konsolidering. Metoden har dog både fordele og ulemper, og bør derfor aldrig bruges alene. Fordelene først

• Det er let at organisere selv uden særlig kendskab til det pågældende fag. F.eks. Kan jeg repetere tyske verber med min søn, som går i folkeskolen uden selv at være specielt god til tysk.

• Repetition er godt til at træne en helt præcis gengivelse af et bestemt stykke viden. Matematiske formler skal kunne huskes helt præcist, hvis man ikke skal slå dem op.

Konsolidering vha. Repetition kan desværre også forbundet med væsentlige ulemper:

• Normalt styrker konsolidering associationer til tilgrænsende områder, hvilket repetition oplagt ikke gør. Overdreven udenadslære kan tværtimod føre til de primære associationer går til repetitionssituationen. Hvis man har lært en formel udenad vil det derfor kunne være svært at abstrahere fra irrelevante detaljer såsom om hvilke symboler der bruges I formelen.

• Hvis det man repeterer noget og af en eller anden grund har forkert fat i det, så kan repetitionen føre til en fejlindlæring, som kan være meget svær at komme af med. F.eks. Kan man under repetition af en bestemt formel have en forkert forestilling om hvad den bruges til. Dette vil kunne føre til at formlen indlæres korrekt men at bruges af formlen fejlindlæres.

Repetition er derfor mest egnet til at lære simple alment accepterede kendsgerninger, som ikke kræver den store fortolkning.

Flashcards

Flere undersøgelser har vist at systematisk brug af flashcards er en af de mest effektive metoder til at læresemantisk viden. Jeg har ikke tidligere brugt flashcards hverken selv eller som en del af min undervisning. Da jeg aldrig underviser I noget jeg ikke selv vil bruge, vil jeg derfor selv forsøge at bruge flashcards og hvis jeg kan få det til at fungere vil jeg introdcere brugen I mine kurser i foråret 2014.

Et flashcard har størrelse som et visitkort. På den ene side skriver man et spørgsmål. På den anden side skriver man svaret. Kortene kan så bruges til at repetere sammen med en anden kursist eller en anden hjælper. En mere systematisk metode er dog at bruge kortene sammen med en lærekasse.

I løbet af mine kurser skal kursisterne lave 6 emneopgaver. Som noget nyt I foråret 2014 skal de til hvert emne formulere 10 spørgsmål med tilhørende svar til emnet. Det skal være de vigtigste formler, definitioner, eller sætninger. Beviser og eksempler kan derimod ikke bruges. Jeg læser opgaven igennem og checker deres spørgsmål og svar. Når de har fået opgaven tilbage, laver de 10 flashcards, som de resten af kurset skal bruge til repetition af emnet.

Forlaget Trip laver ganske vist nogle 'spillekort' som er en slags flashcards. De er dog beregnet til at spille en form for 500 eller Rommy, og det er givetvis underholdende men næppe effektivt. Hvis man er fire, som spiller, vil det højst være en af spillerne som er i gang med at lave matematik, og en effektivitet på 25 % er langt under det acceptable.

Lærekasse

En lærekasse består af et antal rum, hvori der ligger flashcards. Jeg har tænkt mig en lærekasse indrettet på følgende måde:

1. rum indeholder flashcards, som repeteres dagligt.

2. rum indeholder flashcards, som repeteres mandag, onsdag og fredag.

3. rum indeholder flashcards, som repeteres tirsdag og lørdag.

4. rum indeholder flashcards, som repeteres torsdag.

5. rum indeholder flashcards, som repeteres søndage i ulige uger.

6. rum indeholder flashcards, som repeteres I søndage I ugenumre delelige med 2 men ikke delelige med 4.

Nye falshcards lægges i første rum, og repetitionen starter. Hvis man svarer rigtigt på et spørgsmål, så lægges kortet over i næste rum. Hvis man svarer forkert, lægges kortet tilbage i første rum.

Elektroniske flashcards?

Når jeg er blevet fortrolig med brug af fysiske flashcards vil jeg undersøge om der vil være en fordel I at lave elektoniske flashcards og lærekasser. Man kunne forestille sig det lagt ind som en app til mobilen, hvilket mange af mine unge kursister nok ville synes var lækkert.

Open source projekt

Dette projekt har til formål at samle oplysninger om mulighederne for at lave matematik på gymnasieniveu med open source programmer. Alle programmerne skal være af en sådan kvalitet, at de også kan bruges på videregående uddannelser. Programmer kan vurderes ud fra følgende kriterier:

• Open source. Kildekoden til programmerne skal være offentligt tilgængeligt. Endvidere skal det helst være muligt at lave tilføjelsesprogrammer/pakker til at øge programmets funktionalitet.

• Brugervenlighed.

• Ressourceforbrug. Programmet i sig selv skal ikke fylde for meget, det skal bruge mindst muligt ram mens det kører, kilde- og outputfiler må ikke være uforholdsmæssigt store.

• Platformuafhængighed. Programmerne skal så vidt muligt findes i versioner til både Windows, Mac og Linux.

• Dokumentation. Brugen af programmet skal være let at dokumentere, så den som læser det færdige dokument, så vidt muligt kan rekonstruere beregningerne.

Brugen af CAS-værktøjer i matematikundervisningen og ved eksamener er forbundet med mange principielle pædagogiske spørgsmål. De forskellige CAS-værktøjer vil fungere ganske forskelligt i en undervisningssammenhæng, men pædagogiske overvejelser er ikke en del af dette projekt. Projektet går udelukkende ud på at klargøre i hvilket omfang det er muligt at bruge open source CAS-værktøjer til at løse opgaver, som nu typisk læses med CAS-værktøjer, som ikke er open source. En oversigt over nogle vigtige open source matematikprogrammer kan findes på Open and Free Math Programs.

På Niels Brocks GSK-afdeling plejer vi at bruge TI-nspire som CAS-værktøj. Dette fungerer langt hen af vejen udemærket, men det har også nogle klare ulemper.

• Når de studerende kommer ind på en videregående uddannelse, og skal bruge den matematik de har lært, vil det næppe være TI-nspire CAS de kommer til at bruge. Jeg kender I hvertfald ingen universitetsuddannelser, som bruger programmet.

• Programmet er primært lavet til at køre på en 'lommeregner'. Den er imidlertid så stor at TI selv kalder det for en “håndholdt”. Disse håndholdte devises har deres eget operativsystem, så hvis programmet skal køre på en computer, som det køre på en virtuel maskine, hvilket gør programmet langsomt.

• Programmet er ikke designet med henblik på tekstbehandling. Dette er noget som er koblet på på et sent tidspunkt. Det betyder dels at det ikke er al matematik man kan skrive, dels at det typografisk ikke lever op til de krav kursisterne normalt ønsker at lave op til. Telsten kan heller ikke konverteres til andre programmer.

• Sideopsætningen er direkte påvirket af computerens skærmopløsning, så hvis en fil flyttes fra en computer til en anden kan hele sideopsætningen let komme til at skride, hvilket vanskeliggør samarbejde.

• Udskrift volder somme tider problemer, idet det kan være vanskeligt at få alt det matematiske sideindhold med uden at få meget lange tabeller med. Konvertering til PDF er ikke indbygget I den nyværende version (skulle komme med en ny version I slutningen af januar 2014). Det sidste problem kan dog løses ved at installere PDF-Creator eller tilsvarende program, men virtuelle printere til Windows og Mac er forskellige, hvilket I praksis volder kursisterne problemer.

• TI-nspire kan ikke køre under Linux.

• TI-nspire kræver en licens. Den koster ganske vist kun 180 kr for et år, men mange kursister tror de er smarte ved at starte med at bruge 1-måneds prøvelicens. Den rigtige licens gør nogle gange knuder, og kan let tage en uge at få til at virke. Kursisterne ender derfor nogle gange med ikke at have en gyldig licens kort før eller ved eksamen. Det er ganske vist klart deres eget ansvar, men det gør det ikke mindre utilfredsstillende for mig som lærer, hvis kursisterne klarer sig dårligt ved eksamen pga. Et computerprogram, som ikke virker.

LyX

Dette tekstbehandlingssystem giver en meget brugervenlig brugergrænseflade til LaTeX. Nogle kursister har lidt problemer med at installere programmet idet det skal installeret sammen med MikTeX. Nogle har problemer med at indsætte grafik. Output er af højeste kvalitet, og kan uden probelmer anvendes på tekniske uddannelser.

LyX-skabelon Jeg har lavet denne LyX-skabelon i et format egnet til at lave emneopgaver.
Eksamensskabelon Denne skabelon er i et format egnet til at lave basvarelser af skriftlige eksamensopgaver o.lign.

R

Dette er et af standardprogrammerne til at lave statistiske analyser. I sin grundform er det baseret på kommandolinjer, men der findes også grafiske brugergrænseflader til R.
Sweave LyX-fil og datafil som viser hvordan man kan lave statistiske beregninger i R inde fra et LyX dokument ved hjælp af modulet Sweave. Zip-filen indeholder et LyX-dokument samt nogle datafiler.

GeoGebra

Dette matematikprogram er de senere år blevet ganske populært i folkeskolen og kan bestemt også bruges på gymnasieniveau. Programmet startede som et geometriprogram, men med de seneste versioner er der nu også kommet regneark, statistik og CAS og programmet er under konstant udbygning. På en del punkter synes jeg programmet er mere pædagogisk opbygget end f.eks. TI-nspire, men på følgende 2 punkter er GeoGebra svagere:

1. GeoGebras ligningsløser kan ikke håndtere ligninger, som indeholder integraler. Det betyder at en ligning med et integral først skal reduceres til et udtryk, som ikke indeholder et integral, og derefter kan ligningen løses ved hjælp af solve.
2. Udregning af konfidensintervaller for regressionskoefficient er ikke indbygget i programmmet. Sådanne konfidensintervaller skal derfor udregnes ved hjælp af en formel som indeholder fraktilen af en t-fordeling. Dette giver selvfølgelig en begrundelse for overhovedet at nævne en t-fordeling, men mange kursister synes det er vanskeligt når man ikke kan få CAS til at løse hele opgaven.

Grafik i LyX Forklarer hvordan grafik flyttes fra GeoGebra til LyX. Det er muligt at kopiere figurer som pgf-kode så det kan indsættes i et LyX/LaTeX dokument. Dette giver mulighed for at finjustere figurer i alle detaljer.
Histogrammer med variabel søjlebredde.
Statistik i LyX Mange statistikopgaver læses let i GeoGebra men det er ikke så let at lave en gennemskuelig dokumentation for beregningerne.

Maxima

Dette er et af de ældste CAS-værktøjer, og det bliver stadig vedligeholdt selvom det aldrig har fået den helt store udbredelse. Programmet kan klare de fleste CAS-beregninger på gymnasieniveau. Man har tidligere kunnet køre det inde fra LyX, men der er ændret i opbygningen af programmet, så det i øjeblikket ikke er muligt.

Forløb forår 2014

På Matematik A har jeg i foråret 2014 taget udgangspunkt i programmet GeoGebra. En mindre gruppe på 5 kursister havde tidligere brugt TI-nsipire og en enkelt kursist brugte Maple. På trods af at GeoGebra er  open source var der nogle af kursisterne, som meget langt hen i kurset stadig ikke havde sat sig ind i opbygningen af programmet. Det bliver spændende at se hvordan kursisterne har klaret skriftlig eksamen.

Undervisningsmateriale til klatrekurser

En del af Dansk Klatreforbunds kursusmateriale, som har ligget på Klatrekontoret i Brøndby, er tilsyneladende bortkommet. For at sikre at det ikke går tabt, vil jeg derfor lægge mest muligt af det frit tilgængeligt på denne hjemmeside. I de tilfælde hvor jeg er forfatter, må materialet kopieres frit forudsat at det angives, hvor materialet oprindeligt kommer fra og at denne copyright betingelse følger materialet. Hvis du ligger inde med gammelt kursusmateriale, som mangler i listen nedenfor, kan du sende det til mig i elektronisk form eller papirform, så vi også kan få det med.

Isklatring Kursusmateriale lavet af Mads Granlien til brug ved isklatrekurserne. Bortkommet! Kim Moltved har muligvis en kopi.
Redning ved Klatreulykker Dansk Bjergklub og Fjeldgruppen 2001.
Artificiel klatring Kursusmateriale af Peter Harremoës med illustrationer af Tue Johansen fra 1998. Materialet blev oprindeligt skrevet til brug ved Dansk Bjergklubs artificielklatrekurser på Kullen. Tilsvarende kurser arrangeres nu af Dansk Klatreforbund, men er iøvrigt stort set uændrede.
Gammelt redningsmateriale Der fandtes noget gammelt kursusmateriale, som vist var lavet i 1978 af Peter Christensen. Dette er mest af historisk interesse, men det beskrev adskillige nyttige redningsteknikker, som vi normalt ikke underviser i. Bortkommet!
Boltkompendie Dette er lavet til brug ved Dansk Klatreforbunds kursus i boreboltning, som har været afholdt i 2012 og 2013. Kursusmaterialet findes også i et format egnet til udskrift som hæfte på en duplexprinter.
Flerreblængders klatring Oprindeligt lavet til Dansk Bjergklubs klatrekursus i Näfels. Tilsvarende kurser har senere været afholdt i Nissedal. Jeg har en dårlig fotokopi af materialet, som jeg vil scanne. God kopi efterlyses!
Kompendium til kursus i Udstyrs- og Materialekendskab af Peter Harremoës, Dansk Sportsklatreforbund 2006. Kurset har ikke været afholdt siden faldmaskinen forsvandt.
Jamklatring Materiale samlet af Martin Tomlinson til brug ved Dansk Bjergklubs "videregående klatrekursus i Göteborg". Bortkommet!
Klatrevægsklatring 1. udgave Af Peter Harremoës og Ole Brudsøe, Dansk Sportsklatreforbund 1996. PDF-filen er beregnet til udskrift på en duplex-printer.
Klatrevægsklatring 2. udgave Af Ole Brudsøe, Peter Harremoës og Jakob Hertz, Dansk Sportsklatreforbund 1997. PDF-filen er beregnet til udskrift på en duplex-printer.
Klippeklatring 1. udgave Af Peter Harremoës og Ole Brudsøe, Dansk Bjergklub 1995. PDF-filen er beregnet til udskrift på en duplex-printer.
Klippeklatring 2. udgave af Peter Harremoës og Tue Johansen, Dansk Bjergklub 2000. Klatrekontoret har ca. 1000 stk. af hæftet. PDF-filen er beregnet til udskrift på en duplex-printer.
Instrkutørens Håndbog Af Peter Harremoës, Dansk Sportsklatreforbund 1997. Den henvendte sig til klatrevægsinstruktører men er hovedsageligt forældet. Kattinge Værk v. Birgit Løppenthien har siden lavet et mere omfattende kursusmateriale til VKI-uddannelsen, som erstatter den forældede instruktørhåndbog. Nogle af afsnittene er dog stadig relevante og kan bruges som inspiration til udarbejdelse af nyt kursusmateriale. Den sidste del, som indeholdt konkurrenceregler mangler i den indscannede version.
Diverse kursusmateriale brugt i forbindelse med klippeklatreinstruktøruddannelsen. Det drejede sig om undervisningsmateriale lavet af forskellige personer ved forskellige lejligheder. Bortkommet!
Dommermanual  Manualen blev udarbejdet til dommerkurser i Dansk Klatreforbund. Der er siden kommet nye konkurrenceregler, men bortset fra det er materialet stadig anvendeligt. Manualen findes også i et format egnet til at udskrive som hæfte på en duplexprinter.

How to learn mathematics

Learning mathematics is like exploring a new area. There are three methods of exploring a new area and the best way to explore the area is to use all three methods.

Look at a map In a mathematical education this typically means reading a textbook. Like a map a textbook should be precise and comprehensive. One should be able to dig into a detail and see exactly how the recommended techniques regarding this detail work. In a mathematical textbook it means for instance that proofs should be given without any shortcuts.

Take a guided tour That means attend a class with a teacher. The teacher should not try to be complete in the exposition of a topic but should instead prioritize. The teacher should demonstrate devotion to the subject and facilitate a link between feelings and knowledge. Therefore the teacher should emphasize feedback on the achievements of the students.

Explore by your self The student should explore the topic by their own. Some exercises should be formulated in an open manner where there is not only one correct answer. The highest marks should only be given to students that show their ability to work with the topic without specific guidance from a teacher.

I think much math teaching suffers from a bad balance between these aspects of learning.

• For instance many textbooks are not sufficiently detailed so that the teacher has to fill out details that are missing in the textbook instead of prioritizing between all the material that can be found in the textbook.

• At Danish elementary school it has become very popular that the pupils should explore by them selves but exploration often takes a lot of time so if all too much is left for exploration and too little time is allocated for the activity the pupils get interesting experiences, but they will not get very far..

• In Danish gymnasium the written exams are so standardized that one can "easily" get the best marks without demonstrating any ability to do independent thinking.

Mathematical notation

I think mathematical notation and terminology is very important and I think most mathematicians have an all too dogmatic and conservative view on this topic. Obviously it is extremely convenient that mathematical notation is more or less the same all over the world, but sometimes mathematical notation has got stuck in a way that makes it unnecessarily difficult to teach or learn the topic. I wonder how easy math would be if our language and notation was really "optimized". The basic mechanism is that the trendsetters are the best or most famous mathematicians or textbooks. Mathematics is complicated so most people do not challange the autorities and just copy the notation and terminology from the masters.

Evalueringer, anbefalinger mv.

Evalueringsskemaer Sammentællinger af evalueringsskemaer for forskellige af mine hold på Niels Brock. Med Niels Brocks nye system for elektronisk evaluering er svarprocenten desværre faldet. Hvis holdet er lille og/eller svarprocenten er lav vil der kunne være så få besvarelser at systemet slet ikke genererer en elektronisk rapport, hvilket betyder at ingen for (eheller ikke jeg) får kursisternes evalueringer at se, hvilket er højst utilfredsstillende. Jeg tror derfor jeg  parallelt med de officielle elektroniske evaluringsformularer vil lave mine egne i stedet for kun at supplere med de officielle evalueringer med mundtlige evalueringer.

Karakterstatistik for mine kurser på Niels Brock Denne karakterstatistik opdateres løbende.
Udtalelse i forbindelse med praktisk pædagogikum.
Forprojekt, som jeg lavede som en del af adjunktpædagogikum.
Dokumentation for mine kvalifikationer som underviser.

Diverse links

Ellipse Lille animation af hvordan man tegner en ellipse og af nogle af ellipsens egenskaber.
Jeg har også lavet den som video.
Entropy Det tidsskrift jeg var redaktør på.
Pyramider
H.C. Andersens bevis for Pythagoras' læresætning
Rational trigonometry Enhver, som underviser i trigonometri, vil have glæde af at kende disse interessante nye resultater, som  Norman Wilderberger har tilføjet teorien inden for de seneste år. Han viser, at kvadreret euklidisk afstand  (quadrance som han kalder det) bør spille en mere aktiv rolle i alle former for trigonometri. Dette er gode nyheder for alle som forsker i rate distortion theory eller statistik. Jeg overvejer om jeg skal oversætte hans bog til dansk.
Tau Manifesto Siden beskriver fordelene ved at bruge tau som symbol for 2 π.
Vinkelmåler Jeg har lavet en vinkelmåler, som måler i centitørn. Den er vældig praktisk til at tegne lagkagediagrammer.